¿Podría explicar la diferencia entre ecuaciones vectoriales, ecuaciones paramétricas y ecuaciones cartesianas?


Respuesta 1:

Usaré la ecuación de un avión en

R3\R^3

como ejemplo.

La ecuación más general de un avión en forma cartesiana es

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Esta es solo una ecuación algebraica. Las ecuaciones cartesianas son solo polinomios multivariados (no al revés). Si analiza el conjunto de ceros de esta ecuación y grafica esos ceros en

R3\R^3

, entonces obtendrías un avión.

La ecuación vectorial de un plano es

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Esta es solo una ecuación que involucra vectores. aquí

v0\vec{v_0}

es un punto en el avión y

v1\vec{v_1}

y

v2\vec{v_2}

son vectores de dirección (dos vectores linealmente independientes que se encuentran en el plano). La segunda ecuación es solo la ecuación vectorial expandida en forma de matriz usando las coordenadas de los vectores con respecto a la base estándar de

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

La ecuación paramétrica de un plano es la siguiente

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Describe cada coordenada en función de dos parámetros.

ss

y

tt

.