¿Cómo demuestras que la diferencia entre cualquier número entero impar y cualquier número entero par es impar?


Respuesta 1:

Probémoslo por contradicción, es decir, supongamos que la diferencia entre un entero impar y un entero par es par. Suponga un entero impar de la forma 2m + 1, donde m> 0. Ahora tome otro número entero 2n, n> 0. También supongamos que el número entero par es menor que el número entero impar en cuestión. Entonces 2m + 1 - 2n = 2k (por ejemplo). Resolver la ecuación en LHS da:

2 (mn) + 1 = 2k. Ahora el valor en el LHS es claro en la forma 2a + 1, donde a = m - n, entonces LHS es un número impar mientras que RHS es un número par. Entonces nuestra hipótesis original está equivocada. Por lo tanto, se demuestra que la diferencia entre un número impar y un número par siempre es impar.


Respuesta 2:

Tome un entero par ay un entero impar b.

Puede escribir a como 2x, donde x es un número entero, y b como 2y, donde y no es un número entero (por definición de impar).

Queremos mostrar que 2x-2y es impar.

Proceder por contradicción:

Suponga que 2x-2y es par.

=> 2 (xy) = c, un número entero par

=> xy = c / 2, un número entero.

=> y = x + c / 2

=> y es un número entero

=> se ha encontrado una contradicción


Respuesta 3:

Podemos expresar el entero impar como

2x+12x+1

y la pareja como

2y2y

, dónde

xx

y

yy

son enteros Entonces, la diferencia es

2x+12y=2(xy)+12x+1-2y = 2(x-y) + 1

. Como la diferencia no es divisible por 2, es impar.

Alternativamente, podemos usar aritmética modular para probar esto. Deje que el entero impar sea

mm

y el entero par

nn

. Luego,

m1mod2m \equiv 1 \bmod 2

y

n0mod2n \equiv 0 \bmod 2

. Por lo tanto,

(mn)(10)mod21mod2(m-n) \equiv (1-0)\bmod 2 \equiv 1 \bmod 2

. Como la diferencia es congruente con 1 mod 2, es impar.