¿Existe una diferencia conceptual real entre los números racionales e irracionales o son las diferencias un artefacto de nuestro sistema de numeración?


Respuesta 1:

La diferencia conceptual entre los dos es enorme. Los números racionales se definen puramente algebraicamente: comienzas con el anillo de enteros (que es el anillo más pequeño en el que hay un elemento de orden infinito, es decir, el número 1) y tomas su campo de fracciones. Este es un procedimiento finito, puramente algebraico. No se requieren conceptos de análisis (como límites, convergencia, etc.). Pero para definir números reales necesitamos análisis. Específicamente, necesitamos la noción de una "métrica" ​​en el campo de los números reales (que es una formalización matemática de la noción de distancia) y la noción de "completar un campo con respecto a una métrica". El conjunto de números reales se define como la finalización del campo de números racionales relativos a la métrica estándar (archimedean). Más concretamente, es el conjunto de clases de equivalencia de las "secuencias de Cauchy" de números racionales, en relación con la métrica estándar (en realidad es un campo).

El conjunto de números racionales se incluye naturalmente en el conjunto de números reales: cada número racional x da lugar a una secuencia de Cauchy constante (x, x, x, x, ...). El complemento del conjunto de números racionales en el conjunto de números reales es el conjunto denominado conjunto de números irracionales. Concretamente, podemos representar cada número real en forma decimal. Esta es solo una forma particular de registrar una secuencia de Cauchy de ese número (es decir, la secuencia de Cauchy correspondiente a una representación decimal de un número real es la secuencia de sus primeros n dígitos, para todos los n). Pero el concepto de números reales (y, por lo tanto, números irracionales) en sí mismo no tiene nada que ver con una forma particular de representar números. Por ejemplo, podríamos usar en su lugar una forma binaria, o cualquier otra forma "base k". Esto es solo una cuestión de representación. El concepto de un número real se define independientemente de cualquier representación particular.

Una vez que observa esta definición, queda claro cuán mucho más sofisticados son los números irracionales que los números racionales. Los números racionales e irracionales NO son dos caras de la misma moneda en ningún sentido. Por ejemplo, el primer conjunto es contable, y el último no (esta es la conclusión del famoso argumento diagonal de Cantor). Los números racionales forman un campo (es un subcampo del campo de los números reales), pero los números irracionales no.

También quiero mencionar que estos dos conceptos tienen muchas contrapartes en matemáticas. Podemos comenzar con cualquier anillo en lugar del anillo de enteros; por ejemplo, el anillo de enteros gaussianos (a + bi), donde i es la raíz cuadrada de -1, y toma su campo de fracciones. Luego podemos introducir una métrica en ese campo y completarla. En el caso de los enteros gaussianos, si tomamos la métrica estándar (archimedean), obtenemos como terminación el campo de números complejos. Hay una generalización más: además de la métrica arquimedeana en el campo de los números racionales (o el campo de fracciones de otro anillo, como el anillo de los enteros gaussianos), existen otras métricas. Por ejemplo, para el campo de los números racionales, existen las llamadas métricas p-adic, para cada número primo p. La finalización del campo de números racionales con respecto a la métrica p-adic se llama campo de números p-adic. Estos son tan interesantes de estudiar como los campos de números reales y complejos, y ha habido mucha investigación en esta área en los últimos 100 años. Entonces, su pregunta nos lleva a algunas ideas y construcciones verdaderamente fascinantes. (Para obtener más información, solo busque en Google los conceptos que he destacado anteriormente).


Respuesta 2:

Si.

Tan pronto como los defina, son bastante diferentes. Los números racionales son aquellos números que se pueden expresar como la razón de dos enteros. Los números irracionales son aquellos que no pueden. Tiende a ser más fácil de calcular y manipular un número racional arbitrario porque tan pronto como sé que tengo uno, puedo escribirlo de manera que sea posible sumar, multiplicar, restar y dividir. Los irracionales no se comportan tan bien.

El hecho de que tengan inversos multiplicativos los convierte en un campo. Bajo las operaciones antes mencionadas, también están cerrados. Puedes multiplicar dos números irracionales y terminar con un racional: los irracionales sangran de una manera que los racionales no lo hacen.

Además, sus infinitudes se sienten (y de hecho son) bastante diferentes. Uno es el infinito comprensible, imaginable, casi visible de los números contables y el otro es la densidad incomprensible del continuo.

Estoy seguro de que hay más; mi conocimiento es limitado, pero esos son los más obvios.


Respuesta 3:

Si.

Tan pronto como los defina, son bastante diferentes. Los números racionales son aquellos números que se pueden expresar como la razón de dos enteros. Los números irracionales son aquellos que no pueden. Tiende a ser más fácil de calcular y manipular un número racional arbitrario porque tan pronto como sé que tengo uno, puedo escribirlo de manera que sea posible sumar, multiplicar, restar y dividir. Los irracionales no se comportan tan bien.

El hecho de que tengan inversos multiplicativos los convierte en un campo. Bajo las operaciones antes mencionadas, también están cerrados. Puedes multiplicar dos números irracionales y terminar con un racional: los irracionales sangran de una manera que los racionales no lo hacen.

Además, sus infinitudes se sienten (y de hecho son) bastante diferentes. Uno es el infinito comprensible, imaginable, casi visible de los números contables y el otro es la densidad incomprensible del continuo.

Estoy seguro de que hay más; mi conocimiento es limitado, pero esos son los más obvios.


Respuesta 4:

Si.

Tan pronto como los defina, son bastante diferentes. Los números racionales son aquellos números que se pueden expresar como la razón de dos enteros. Los números irracionales son aquellos que no pueden. Tiende a ser más fácil de calcular y manipular un número racional arbitrario porque tan pronto como sé que tengo uno, puedo escribirlo de manera que sea posible sumar, multiplicar, restar y dividir. Los irracionales no se comportan tan bien.

El hecho de que tengan inversos multiplicativos los convierte en un campo. Bajo las operaciones antes mencionadas, también están cerrados. Puedes multiplicar dos números irracionales y terminar con un racional: los irracionales sangran de una manera que los racionales no lo hacen.

Además, sus infinitudes se sienten (y de hecho son) bastante diferentes. Uno es el infinito comprensible, imaginable, casi visible de los números contables y el otro es la densidad incomprensible del continuo.

Estoy seguro de que hay más; mi conocimiento es limitado, pero esos son los más obvios.